19考研数学,线性代数的复习方法

作者: 来源:杨超数学考研 时间:2018-06-11 11:07

线性代数的学习主要围绕两条学习的主线,第一条是方程组理论,第二条是特征值理论。

线性方程组理论要是有两个问题构成,一是线性方程组解是否存在,就是解的判定问题;二是如果线性方程组有无穷多解,那如何表示这无穷多解,就是解的构成问题。线性代数特征值理论主要是研究矩阵对角化问题。不管是行列式还是矩阵都是为后续章节做准备接下来我跟大家具体分析一下各章之间的联系和复习方法

第一章行列式

这一章主要考察的是行列式的计算,它不会作为单独考察点来出题,它主要是结合方程组解的问题来出题,因此,这一章的重点是学习如何计算特殊类型的行列式的计算方法,比如:爪型、对角线型;三阶行列式;行列式展开定理;行列式的性质等。

第二章矩阵

主要要求掌握矩阵运算性质、逆矩阵(包括逆矩阵的判定、求逆矩阵)、初等矩阵(左行右列原则、初等矩阵的逆矩阵)。这就要求大家对初等变换必须达到很熟练地掌握,后续章节的学习才能顺利进行。这一部分还有一个线性代数的核心概念:秩。矩阵的秩是一个“结”,是一个“扣”,打开这个“结”,解开这个“扣”,就意味着线性代数学透彻一大半了。

第三章向量及线性方程组

这一章主要是通过研究向量组之间的关系研究方程组解的问题,向量是手段是工具。这一部分内容是相对难掌握,其原因主要是它比较抽象,而且定理又非常多。这一部分定理要求全部会证明,意义不在于证明这些定理本身,主要是通过这些定理的证明体会线性代数这门学科常用的证明思路和方法,和高等数学相比,线性代数这门学科的证明思路是相对固定的,变化很少,完全可以掌握。

第四章特征值特征向量

这一章就开始进入矩阵对角化的讨论了,这一章的构成是这样的:一、什么样的矩阵可以相似对角化,即相似对角化的充要条件。二、如果矩阵可以相似对角化,那么通过什么样的相似变换可以达到对角化的目的,对角化后的对角阵又是什么形式。这就涉及到可逆矩阵P的求法,对角阵的构成。由此可见这一部分的编写是一个倒叙形式,求特征值特征向量,是为求P做准备的。

第五章二次型理论

这一章主要探讨的是实对称矩阵的对角化问题,实对称矩阵与普通方阵相比有自己特殊之处,在对实对称矩阵进行对角化的过程中,可以对可逆矩阵P提出更高的要求,可以要求矩阵是一个正交矩阵Q,正交矩阵具有良好的运算性质,列向量之间正交且均为单位向量,才可进一步深入讨论如何将二次型化为标准型的问题。

总而言之,线性代数的学习我们必须在脑海里形成一个网,要把所有的知识链接起来。千万不可以单纯去学习某一个知识点,线性代数主要的特点就是相互渗透,只有理清楚结构才能学好这门课。
 

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