寻根究底之秩篇（一）：是什么，为什么，怎么用

新知识的获取离不开探索。探索越多，收获越多。虽然考研备考更多的是复习而非创新，但只要一个知识点、一种方法、一种理解角度对你是新的，那这种复习便可归为广义的探索。这种探索与学术研究有所不同，学术研究更多地是在某点的深入，形不成体系;而研究生考试考查的知识不少已形成知识体系，是可以系统地理解的。而要理解并把握一个知识体系需要做到融会贯通。所以我们复习时要有寻根究底的精神：为了弄清概念A，我们要理解概念B，而概念B中很可能又含有你不甚了解的概念C……不要放弃，坚持下去!只要这些概念是考纲要求的，就不要放过!下面的文字也是按照这种思路组织的。我当年也是按照这种方式学习的，效果不错。

秩的中文含义是官员俸禄的动态排序，英文单词是rank，也有次序、排位之意。秩在线性代数中用在矩阵和向量组上，我们也可以将秩视为对矩阵和向量组排序的一种指标(如果按照秩从小到大的顺序排列，那零矩阵排在最前面，接着是秩为1的矩阵，……)。跟秩打了个招呼后，请睁大眼睛，做好迎接挑战的准备，我们的探索之旅开始了。

一、矩阵的秩

什么是矩阵？矩阵即由m乘n个实数排列而成的m行n列的数表。

有人说，要想真正认识一座山，除了要亲自爬一下这座山，还要爬其它的山。这是有道理的：前者让人有亲身经验，后者使人有所参照。生活和学习中的很多道理是相通的。要透彻理解一个概念，不仅需要深入理解其定义，而且需要将其与其它概念作比较，以辨明区别与联系。

下面，我们就把矩阵与行列式做一个比较：

上表提到了子式，那什么是子式?

子式即矩阵任取i行i列交叉位置的元素所构成的行列式。为什么叫子式?子即孩子，因为它由矩阵产生的，是矩阵的孩子;式即行列式。这里的子式是相对矩阵而言的，行列式有没有子式呢?因为行列式中的元素是按方阵形式排列的，是可以按照矩阵找子式的方式找出子式的。但这只是矩阵找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不过子式的找法与矩阵不同。如何找，找出来是什么样子?我们看下面两个概念：

1.余子式

顾名思义：余下的子行列式。仍有疑问：余下的，怎么余下的?子式是“由行列式产生的行列式”吗?后面问题回答是肯定的。对于第一个问题，看一下余子式的完整定义就可以了：行列式中元素aij对应的余子式为在行列式中划掉aij所在行和列后构成的低一阶的行列式。

所以我们发现：余下的含义是划掉了一行一列而剩下。并且还发现余子式是只能是低一阶的行列式，不能低两阶或低多阶，也不能是同阶。

电影《肖申克的救赎》中有句台词，大意为：既然已经走了这么远，为什么不多走一点呢?套用过来：既然我们已经弄清了余子式的概念，那为什么不多走一步，弄清一个相关的概念——代数余子式呢?

2.代数余子式

代数作为修饰语的含义是“带符号”(或加正负号)。如定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。所以代数余子式即带符号的余子式。这里又产生了一个问题：符号的正负是如何确定的呢?这是由划掉的行数和列数决定的，或者说由元素aij所在的位置决定的，即-1的i+j次幂。

通过一番讨论，我们搞清了子式的概念。那对于这样一个1乘3矩阵：(120)，你能找出它的所有的子式吗?不难发现它的子式共有三个：1,2,0。这说明：一个矩阵的子式可能有多个。而我们关注的是那些非零的子式(注意到子式是行列式，而行列式的值是可以算出来的)。此处非零的子式有：1,2。现在我们再完成一项工作，胜利就在眼前了。在这些非零的子式里，我们挑出阶数最高的。此处两个非零子式都是一阶的，最高阶数当然是1。这个最高阶数不是别的，就是原矩阵的秩。所以矩阵(120)的秩为1。是不是有“众里寻他千百度，那秩却在灯火阑珊处”的感觉?

对于一个一般的m乘n矩阵，我们也可以按照上面的三个步骤找出它的秩：找出它的所有子式;在这些子式里面找出非零的;挑出非零子式中阶数最高的，这个最高阶数就是矩阵的秩。下面再看矩阵的秩的定义，就会觉得它不那么难理解了。

矩阵的秩即矩阵中非零子式的最高阶数。